Подскажите, пожалуйста, как правильно?
Мы уже давали ей денег в этом месяце.
Мы уже давали ей деньги в этом месяце.
Зависит от контекста: если деньги на неопределенные расходы (сколько-то денег; она постоянно просит денег на пропитание и т. п.), то первый вариант предпочтителен, а если на что-то конкретное или по расписанию (деньги, причитающиеся за работу, за квартиру и т. п.), то второй.
ДАТЬ — 1. что (полный охват предмета действием). Дать книгу; Дать ключ от двери. 2. чего (частичный охват предмета действием). Дать денег на дорогу; Дать хлеба. В разговорно-просторечной и диалектной речи могут употребляться в форме родительного падежа также существительные со значением конкретного предмета, если указывается объект временного пользования: Дай шаечки, когда вымоешься (Пом.); Дайте, маменька, платочка пот обтереть (Остр.); Дай ножичка.
Розенталь Управление в русском языке.
Оба варианта возможны. Зависит от контекста.
Если уж говорить о грамматике, то желательно указать следующее.
Из словаря:
ДАТЬ, св. 1. (кому-чему) кого-что. Передать из рук в руки; вручить. Д. денег на дорогу. Д. завтрак с собой. Д. банку под сметану. Д. сдачу.
ДАВАТЬ – форма несовершенного вида, для глагола дать в его первом значении эта форма используется для выражения многократности действия.
Формы глагола давать: https://www.translate.ru/grammar/ru-fr/давать
Соответственно, при анализе ситуации следует учитывать и выбор падежа (винительный или родительный), и значение многократности.
Получится тот вариант, который обозначил Alex_ander
Мы уже давали ей денег в этом месяце. Родительный падеж. Неопределенность (суммы и предназначенности расходов) и повторяемость.
Мы уже давали ей деньги в этом месяце. Винительный падеж. Определенность (определенная сумма или конкретность платежа) и повторяемость.