Здесь, конечно, только "триста".
Сначала хотел было отделаться комментарием типа "Трехсот - это родительный падеж. Откуда ему взяться при прямом дополнении без отрицания?", но посмотрел уже данные ответы и комментарии к ним...
Есть несколько групп глаголов, которые допускают или даже требуют родительного падежа в роли прямого дополнения, основную массу которых составляют "ждательные" глаголы ("ждать трамвая/трамвай и "партитивные" - выпить воды/воду), но это явно не наш случай.
Что касается причин появления такой неправильности, то тут имею своё объяснение. Дело не в смешении с формами при "более/менее", а в том, что налицо одушевленный субъект (стрельцы), то есть винительный падеж должен бы совпадать с родительным. Но количественно-именная группа теряет категорию одушевленности, подчиняется правилам использования неодушевленных имен и требует формы родительного только тогда, когда это и есть родительный. Это, как верно пишет Екатерина, происходит, например, при отрицании.
Или в случае приименного родительного: Решение трехсот жильцов дома.
Так что проще всего уяснить, что "триста стрельцов, бойцов, крестоносцев или китайцев" - они как "триста концов, дворцов, перцев или авианосцев". У вас не повернется язык сказать "построил трёхсот дворцов" или "послал трёхсот авианосцев"?