- Повторение слова "история" не тянет на тавтологию, которая представляет собой необоснованное повторение одних и тех же (или однокоренных) или близких по смыслу слов («спросить вопрос»). В представленном тексте слово повторяется в разных предложениях и не очень режет слух, хотя, безусловно, заметно. Скорее, это можно отнести к стилистической погрешности.
Но дело даже не в этом. Сочетание "история насчитывает в своей коллекции" некорректно. Выход, на мой взгляд, простой — нужно написать: Его коллекция насчитывает... И нет никакого повтора.
- Заменить "один из крупных" на "один из самых крупных" можно. Вероятно, Донецкий музей и является самым крупным в Донбассе, но другие музеи теоретически могут с ним конкурировать по "крупности" чего-то другого (площади, количества залов, филиалов, редких экспонатов и др.). Одно из значений слова "крупный" — значительный, а таких музеев может быть много.
В Национальном корпусе русского языка именно такое сочетание встречается 79 раз, например:
Отряд Попаснянского района, один из самых крупных в области <...> [А. А. Фадеев. Молодая гвардия]
Сегодня Северо-Запад, конечно, один из самых крупных транзитных транспортных узлов <...> [Марина Скляренко. Премия «Эксперт года» — шаг в большую экспертную политику]
Из Википедии: Миссисипи имеет один из самых больших бассейнов в мире.
- За на Донбассе оценку снизить могут. Такое сочетание часто можно услышать (и этому есть своё объяснение). Я родом из Кемерова (Кузбасс) и никогда ни от кого не слышал на Кузбассе.
Ответ справочной службы русского языка:
Всё очень просто: Донбасс – сокращение от Донецкий угольный бассейн. По-русски говорят в бассейне, не на бассейне. Поэтому в Донбассе.
А вообще, чтобы избежать и этой неловкости, используйте беспредложный вариант.
P. S. Благодаря комментарию автора вопроса заметил, что в предложении "Донецкий художественный музей — один из самых крупных в Донбассе" не только добавлено слово "самый" и предлог "в" (на чём я и сконцентрировался в своем ответе), но и отсутствует слово "музей" из изначального текста. Повтор этого слова, так же как и история с "историей", звучит неблагозвучно :) и может вызвать вопросы, тем более что "Музей" присутствует и во втором предложении. Поэтому беспредложный вариант отпадает.