Не вижу здесь проблемы, решаемой правилами § 194 справочника Розенталя http://rozental.gramatik.ru/xliv-soglasovanie-opredeleniy-i-prilozheniy/ss-194-dva-opredeleniya-pri-odnom-sushchestvitelnom . § называется "Два определения при одном существительном". В Вашем примере Получение единовременной выплаты в размере 20 000 рублей на рожденного (усыновленного) после 1 января 2020 года третьего ребенка или последующих детей у каждого существительного своё определение: третьего ребёнка, последующих детей.
Сложность здесь в том, что есть ещё одно необособленное определение, выраженное причастным оборотом рожденного (усыновленного) после 1 января 2020 года, оно согласуется с близлежащим сочетанием третьего ребенка, а перед следующим за ним сочетанием последующих детей пропускается, чтобы не было повтора, ведь должно было бы быть так: Получение единовременной выплаты в размере 20 000 рублей на рожденного (усыновленного) после 1 января 2020 года третьего ребенка или на рожденных (усыновленных) после 1 января 2020 года последующих детей.
Во множественном числе причастие рождённых было бы в следующем случае: Получение единовременной выплаты в размере 20 000 рублей на рожденных (усыновленных) после 1 января 2020 года третьего или последующих детей. Здесь было бы согласование по смыслу - указание на то, что детей много, но было бы возможно и согласование в единственном числе по соседству с порядковым числительным третьего: Получение единовременной выплаты в размере 20 000 рублей на рожденного (усыновленного) после 1 января 2020 года третьего или последующих детей.