Депутат предложил дать отсрочку жителям города на платежи по аренде жилья.
Мне эта фраза вообще видится корявой.Лучше построить предложение по схеме: дать кому? что? какую отсрочку? каких платежей?:
Депутат предложил дать жителям города (что?) отсрочку (чего?) платежей (каких?) по аренде (какой? чего?) жилья.
Платежи по аренде - использовано второе значение слова аренда - плата за наём, а не сам наём. (Как платежи по кредитному договору, платежи по рассрочке) Возможно и первое значение: Депутат предложил дать жителям города отсрочку платежей за аренду жилья.
Или: Депутат предложил дать жителям города отсрочку арендной платы за жильё.
Или: Депутат предложил дать жителям города отсрочку арендных платежей за жильё.
По поводу управления слова отсрочка посмотрим словарь Розенталя "Управление в русском языке:
Отсрочка Ч е г о и в ч е м. Отсрочка сдачи экзаменов. Отсрочка
исполнения приговора. Получить отсрочку в призыве на военную службу.
Источник: https://gufo.me/dict/rection_rosenthal/%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0
Как видим, отсрочка на что-то - ненормативное управление, разговорное.