В русском языке нет никаких стилистических правил, которые бы ограничивали автора при распределении слов между абзацами. Небольшое отступление: в работе "Как писать книги" Стивен Кинг хорошо писал теорию абзаца: на него приходится одна тема; как только она заканчивается, начинается новый абзац.
А теперь к вопросам.
Можно ли в новом абзаце местоимением ссылаться на слово из предыдущего? Или корректнее повторить нужное слово?
Можно! Вам никто это не запретит. Более того, если речь идёт о стилистике, то чем реже Вы будете употреблять одно и то же слово (включая однокоренные), тем Ваш текст будет симпатичнее и богаче. Вы противопоставили местоимение "тому же слову", но есть отличное стилистическое решение: замена в следующем абзаце "того же слова" на синоним. "Маша" — на "девочка", "гидра" — на "чудовище" и т.д.
Если же вопрос поставить строго — то да, можете употреблять местоимение свободно, при соблюдении двух условий:
1) В художественных текстах: слово, которое заменили местоимением, легко определить (если нет цели намерено затуманить смысл фразы).
2) В документах: если не создаётся двусмысленности (или "трёхсмысленности", и так по нарастающей).
Можно ли в абзаце местоимением ссылаться на слово из подзаголовка? Или корректнее повторить нужное слово?
Корректнее перестроить фразу так, чтобы одинаковые слова располагались на максимально возможном расстоянии друг от друга. При необходимости, само собой, можно слово из подзаголовка заменить местоимением. Вы ведь не для роботов пишите, а для людей. Любой разумный человек способен сложить 2+2 и понять, что речь в начале текста о том, что упомянуто в подзаголовке. Грубо говоря, если статья, названая "Чарли Чаплин", начинается с фразы "Он родился в таком-то году", у меня не возникнет сомнения, что речь именно об этом актёре.
Но всё это довольно скучные ситуации, присущие текстам с духом формализма. Ничто ведь не мешает начать статью как-то интереснее: "В таком-то году, в таком-то населённом пункте родился мальчик, как вы уже догадались — герой этой статьи". Мы ведь о стиле сейчас говорим. А стиль — это не математика. Тут нужна изобретательность и изящные решения.
Можно ли начинать абзац с союза?
С цифры, с союза, с любого слова, с какого душа пожелает, можно начинать абзац. Лишь бы фраза получилась не кривая. Даже в документах можно начать фразу с союза. Можно было бы сказать, что нельзя начать разве что с точки или запятой, но художественная литература, если понадобится, может себе позволить любые решения, если это как-то соответствует авторскому замыслу. Но это уже будут вопросы не русского языка, а искусства.
