Мой учебник говорит, что наречие бережно является наречием качественным,
а наречия ползком и трепетно - образа действия.
Вы ничего не перепутали? Трепетно - тоже качественное, т.к. образовано от качественного прилагательного (Чувство его какое? трепетное, (каково?) трепетно ), имеет степень сравнения: Стал относиться как? - ещё трепетнее. Это качество действия, как и бережно. Здесь ассоциация с трепетным действием.
Определительные наречия образа или способа действия характеризуют не само действие, а то, как оно совершается. Например: вдребезги, пешком, на ощупь, вплавь врукопашную и др.
Образ или способ действия может быть определен путем сравнения или уподобления:
Он по-ребячьи потянул ладонь.
Обозначение способа действия совмещается здесь с его качественной характеристикой, поэтому Вы и засомневались.
Убитый лежал ничком. - определительное наречие образа действия, потому что у него нет степени сравнения.
Итак, определительное качественное наречие имеет степень сравнения или это местоимение с корнем КАК (кое-как, как-нибудь);
определительное количественное обозначает меру и степень качества (относится к качественному наречию или заменяет сочетание с ним) - очень весело, идёт еле-еле = очень медленно;
определительное наречие образа или способа действия характеризует, каким способом производится действие, у него не может быть степени сравнения.