Можно не ставить.
Тогда не будет вводного предложения и пропущено слово "что":
Я вам представил режиссера номера, но мне кажется, (что) он не запечатлелся в вашей голове. || Этот вариант гораздо естественней звучит. "Но" относится к "кажется".
При вводном предложении можно добавить слово "как" и это ни на что не влияет:
Я вам представил режиссера номера, но, (как) мне кажется, он не запечатлелся в вашей голове. || Перед "мне" обязательна пауза при чтении.
Ещё вводное предложение "мне кажется" можно переставить:
Я вам представил режиссера номера, но он, мне кажется, не запечатлелся в вашей голове.
Когда запятая обязательна?
Когда "но" относится не к "кажется", а к следующей фразе.
Нет разницы, начало это или середина предложения. Просто в начале предложения примыкание союза к вводной конструкции можно наблюдать чаще, так как союз часто свободен, раз не соединяет два простых предложения.
В таких случаях нужно смотреть, к чему именно относится союз. Часто есть два варианта, и решает автор.
Розенталь (ссылка):
Постановка запятой позволяет разграничить вводное сочетание и независимое предложение в составе бессоюзного сложного предложения.
Но, я вижу, вам это не подходит (вводное предложение).
Но я вижу, вам это не подходит (бессоюзное сложное предложение).