Серж, Вы же знаете, что это один из переходных случаев в синтаксисе, да и в морфологии инфинитив вызывает много вопросов в силу того что по происхождению - это форма дательного падежа единственного числа отглагольного имени существительного, впоследствии утратившего остальные падежи и перешедшего в систему глагола. Так что он вполне может входить в состав СИС, ведь исторически это именная форма, втянутая в систему глагольных форм.
В старославянском языке инфинитив мог быть дополнением также и при существительном или прилагательном.
Древнерусскому языку было свойственно употребление инфинитива в функции подлежащего, к началу письменности это уже не имя, а глагольная категория. В процессе изучения инфинитив называли по-разному - «особой частью речи», «неопределенным наклонением», «глагольным номинативом», «смешанной частью речи», «подглаголком», «отглаголией», «неопределенной формой».
В предложениях типа Жить — родине служить. инфинитив - синкретичный член предложения.
Синкретичность инфинитива объясняется многообразием выполняемых им синтаксических функций: инфинитив может быть одним из главных членов двусоставного предложения. В функции главного члена (сказуемого) односоставного предложения выступает так называемый независимый инфинитив. Например: Молчать! Загремел лесник и шагнул два раза (Тургенев). Вам не видать таких сражений… (Лермонтов). Независимому инфинитиву противостоит зависимый. Его синтаксические функции более разнообразны, завися от того или иного слова в предложении, такой инфинитив является или частью составного сказуемого, или одним из второстепенных членов предложения.
Артамонов В.Н.называет предложения по схеме ИНФ.- ИНФ. биинфинитивными, другие учёные называют их предложениями-тождествами.
https://science-education.ru/ru/article/view?id=9041
Многие говорят о препозиции подлежащего в таких предложениях, но ведь допускается и инверсия. Если жить-подлежащее, то смысл предложения: жизнь - это служба родине, жизнь является службой родине, но мне видится более логичным смысл обратный: служба родине является жизнью (самым важным смыслом жизни), тогда получается, что жить - сказуемое, а служить - подлежащее.
О том, что инфинитив может быть частью СИС, говорится вот на этих сайтах:
https://studopedia.ru/12_60476_nachavshiysya-vek.html
https://rus.1sept.ru/article.php?ID=200304304
На отдельных сайтах можно найти это предложение как иллюстрацию простого глагольного сказуемого, но Вы ведь понимаете, что тогда мы должны иметь возможность заменить инфинитив личной формой глагола, ну вот как А Татьяна бежать! - А Татьяна как побежит! У нас такой возможности нет.
Если это СГС, то должен быть вспомогательный фазисный глагол или модальная форма, у нас этого тоже нет.
Остаётся только СИС, Жить - (это) родине служить.