Под таблицами - общий элемент для двух простых предложений. Тогда запятую ставить не нужно.
Но как же узнать наверняка, общий ли это элемент по смыслу?
В случаях, если простые предложения можно поменять местами, запятая точно не ставится:
Под таблицами не указано название организации/отдела и нет подписи. || Если такой вариант тоже подходит, то запятая не нужна.
Если название организации не указано в общем, а не именно под таблицами, то запятая нужна. Тогда "под таблицами" относится только к подписи. То есть теоретически возможны два варианта: с запятой и без.