Я очень надеялась, что вопрос заинтересует наших педагогов: ведь это обычный школьный разбор, и наверняка он встречался в их практике. Еще раз повторяю, что видела ответы в Сети, и они были разнообразными и весьма оригинальными.
Разбираю по Кустовой:
Служить бы рад, прислуживаться тошно.
В обоих предложениях использована инверсия, то есть перестановка инфинитива с целью выделения его логическим ударением.
При прямом порядке слов: Рад бы служить, тошно прислуживаться.
Возможна постановка тире, а не запятой для обозначения противопоставления в БСП.
1) Служить бы рад.
Двусоставное неполное предложение (Римма подсказала, спасибо ей).
Сказуемое: рад бы служить (был бы рад служить), составное глагольное.
Вспомогательная часть выражена кратким прилагательным рад со связкой был бы (был – пропущено) в форме сослагательного наклонения.
Это обычная практика для модельных слов (существительных, кратких прилагательных), которые не могут выразить время и наклонение, в отличие от вспомогательных глаголов: я рад служить, я был рад служить, я был бы рад служить. Сравнить: я хочу служить, я хотел служить, я хотел бы служить.
2) Прислуживаться тошно.
Цитирую:
Предикативы могут употребляться с примыкающим инфинитивом: интересно узнать, страшно вспомнить, пора ехать, грех жаловаться.
(Предикативами называют слова категории состояния, материал рассматривается в теме "безличные предложения").
Итак, тошно прислуживаться.
Это односоставное безличное предложение.
Сказуемое: составное глагольное, вспомогательная часть выражена модальным предикативом тошно со значением состояния человека.