Для решения задачи надо определить возможные грамматические варианты и их смысловое значение.
Вариант 1. Учитель военной прогимназии, коллежский регистратор Лев Пустяков, обитал рядом с другом своим, поручиком Леденцовым. Обособленное уточнение у Чехова.
Вариант 2. Учитель военной прогимназии, коллежский регистратор Лев Пустяков обитал рядом с другом своим, поручиком Леденцовым. Однородные приложения перед именем собственным (у Розенталя). Поэтому он и пытается объяснить их однородность, интонация перечислительная.
Вариант 3. Учитель военной прогимнАзии, коллежский регистратор Лев Пустяков обитал рядом с другом своим, поручиком Леденцовым.
Первое приложение имеет значение причины и поэтому обособлено (вариант, предложенный в ответе). Этот вариант формально совпадает с вариантом Розенталя, но читается совсем по-другому (двухчастная конструкция с подчеркнутой паузой).
Грамматически все варианты возможны, но смысловые оттенки в них разные, и, вероятно, Чехов выбрал самый правильный.
Смысловой анализ вариантов
1) С этого предложения начинается рассказ «Орден». Определяемым словом является учитель военной прогимназии, который живет рядом с другом-поручиком и просит у него орден на время. Именно об учителе хочет рассказать нам автор, поэтому имя и чин персонажа даются как уточнение.
2) Розенталь предлагает однородные приложения перед именем собственным. Но тогда определяемым словом будет имя собственное Лев Пустяков, которое выступает на первый план, а два приложения будут однородными по значимости (надо сказать, что другой однородности от этих приложений и не требуется).
Но автору было важно сразу назвать профессию героя, так как в рассказе фигурируют два учителя из этой гимназии. Поэтому он выбрал другой вариант (с уточнением).
3) С одной стороны, есть что-то похожее: прогимназия военная, друг его – поручик, вот они и живут рядом. Но как-то странно звучит это причинное значение, да еще в первом же предложении, когда автор представляет нам своего героя: Будучи учителем военной прогимназии, коллежский регистратор Лев Пустяков обитал рядом с другом своим, поручиком Леденцовым.
В конце концов, он мог жить и в другом месте, здесь нет жесткой обусловленности. Как мне кажется, этот вариант Чехов не одобрил бы.