На примере фразы-вопроса:
Каким является этимологический корень слова?
И как обнаружить и не допускать?
Правильно: какой этимологический корень слова (в слове, у слова).
Сочетание каким является некорректно.
Глагол являться может управлять существительными: являться кем/чем. Например, предложение "этот фильм является лучшим" неполное, в нем подразумевается "является лучшим фильмом".
О местоименном прилагательном какой
Здесь местоименное прилагательное какой – это не вопрос о качестве/свойстве, а вопрос о выборе той части слова, которую мы будем считать корнем.
Из словаря:
КАКОЙ 1. Обозначает вопрос о качестве, свойстве чего-л. 2. Употр. для выражения вопроса о порядке выбора.. который именно, который из имеющихся.
ЯВЛЯТЬСЯ, нсв. 1. к Явиться. 2. кем-чем. Быть кем-, чем-л., представлять собой кого-, что-л. Она являлась хозяйкой дома. Хирургическая операция является печальной необходимостью. Он является членом учёного совета.
ЯВИТЬСЯ 4. чем. Стать, оказаться. Его приезд явился большой неожиданностью.
А и нетути никакой речевой ошибки. Допускайте на здоровье.
Этимоло́гия (др.-греч. ἐτυμολογία от ἔτυμον — истина, основное значение слова и λόγος — слово, учение, суждение) — раздел лингвистики (сравнительно-исторического языкознания), изучающий происхождение слов (устойчивых оборотов и реже морфем). А также — методика исследований, используемых при выявлении истории происхождения слова (или морфемы) и сам результат такого выявления. Также под этимологией может пониматься любая гипотеза о происхождении того или иного конкретного слова или морфемы (например, «предложить более убедительную этимологию»), само происхождение слова (например, «у слова тетрадь греческая этимология», то есть версию происхождения — непосредственно этимон).
Обратите внимание на повторяющееся "или МОРФЕМУ".
А морфема ли корень? А вот и да:
Ко́рень — морфема, несущая лексическое значение слова (или основную часть этого значения).