Справка Грамоты.ру для нас расстаралась!
...и лингвисты понимали, что изменение его написания многими было бы воспринято болезненно!
Вопрос № 269503
Почему в словах цЫц, цЫган, цЫпленок пишется буква Ы, а не И? С чем
связанно это исключение? Слова вроде не заимствованы. Может, раньше
они как-то иначе произносились?
Ответ справочной службы русского языка
Дело в том, что слова цыпленок, цыпочки, цыкать, цыц имеют
специфические междометные корни, что оправдывает их особое
написание. Что касается существительного цыган, то это слово
осталось единственным в списке исключений, не имеющим междометного
корня. Раньше таких слов было больше: панцырь, цырюльник, цынга,
цыновка – написание этих слов было изменено в 1956 году (когда
были приняты действующие правила русского правописания).
Почему слово цыган осталось в списке исключений, а не стало писаться
через и, как панцирь и другие слова? Вероятно, это связано с тем,
что цыган – слово с богатой культурно-исторической традицией
(например, оно употребляется в названии поэмы А. С. Пушкина) и
лингвисты понимали, что изменение его написания многими было бы
воспринято болезненно.
Дополнение после полученных вопрошающих комментов:

Стало быть, Мцыри - как зарегистрировано по месту обитания в 1839 году, к тому ж то дела грузинские, не нашенские ("в соответствии с традицией").
А цыркать - то ж звукоподражание такое:
Левша. Это я-то? Цык! (Цыркает сквозь зубы в знак высшего презрения.) Я свою работу сделал... технически. Да...
В 2007 году добавлено Лопатиным добавлено слово цыркать в исключения.
Об истории слова:
При попытках сформулировать правило в конце 19 - начале 20 века
исследователи приводят разные перечни исключений.
Даль использует слово цыркать.
Грот приводит в качестве исключений цыбик, цырюльник, цынга, цыфирь, панцырь, цыплёнок, цыган, цыкать.
Ушаков: цыбик, панцырь, цынга, цыган, цыплёнок (цифирь, цирюльник у него с И).
В 1956 году уменьшено число слов-исключений с Ы в корне (убраны цыбик, цыновка, цырюльник, цынга, цыфирь, панцырь). Слово цыркать в этом списке не упоминается.
В 1963 году комиссия Виноградова предлагает изменить правило и после Ц
всегда писать И, даже в окончаниях. Это предложение не проходит.
В 2007 году добавлено Лопатиным добавлено слово цыркать в исключения.