Я отвечу, предварительно не читая, хотя знаю, что наверняка пойду вразрез с общим мнением. Потом почитаю ответы.
Во-первых, не люблю подобные формулировки, когда остается гадать, что хотел услышать спрашивающий.
Во-вторых, строго говоря, "спряжение" есть некая система личных (или лично-временных) форм, существующая (или сопоставляемая) каждому глаголу. Следовательно, спряжение есть у каждого глагола. И что собственно, мешает определить его тип? Смотришь в словарь - видишь, по какому образцу глагол спрягается.
Ну допустим, предполагается, что определить тип спряжения надо самостоятельно, без словаря. Но тогда вся трудность заключается в том, знает ли участник олимпиады правильные формы спряжений упомянутых глаголов. Эко дело...
Итак, мой ответ.
Тип спряжения можно определить у любого глагола, если знать все его правильные личные формы. Если не знать, то наверняка сказать невозможно, хотя обычно достаточно одной-двух. Единственная сложность заключается в существовании разноспрягаемых и неправильных глаголов и глаголов, имеющих вариативные формы (типа стлать-стелить, мерить-мерять).
Но это очень условная "трудность", ибо такие глаголы тоже можно и нужно как-то классифицировать, то есть отнести к определенному типу склонения - разноспрягаемых, неправильных или "парноспрягаемых" (назовем так).
Судя по всему, авторы вопроса просто хотели в очередной раз проверить, знают ли участники, как спрягается каждый глагол из списка...
Откровенно говоря, без интернета я не берусь утверждать, что вспомню все тонкости... Да и с интернетом наверняка можно что-то пропустить или попасть в пропасть между академическими и школьными представлениями..
В приведенном списке вижу (без шпаргалки) следующее:
Выглядеть - спрягается как и "гдядеть", то есть по второму спряжению. "Сложность" в переносе ударения на приставку, но абсолютное большинство приставочных глаголов сохраняют тип спряжения (я бы сказал все, но смутно помню, что есть какое-то исключение)
гнать - так называемый глагол-исключение, относится ко второму спряжению, хотя инфинитив имеет признаки первого. В этом, видимо и "сложность"
гнить глагол первого спряжения, окончание личных форм ударное, инфинитив не является маркером спряжения. Что тут сложного, даже не знаю, возможно только фонетическая и смысловая близость с родственным глаголом "гноить", который является глаголом второго спряжения
едать - глагол первого спряжения (он едает, они едают), сложность, видимо, в том, что формы настоящего времени совершенно неупотребительны и восстанавливаются только косвенным путем. Но это и есть тип спряжения глагола, этот тип можно назвать "недостаточным".
засыпáть -это глагол вариативный, имеющий для отдельных личных форм два варианта. Засыпет - засыплет, засыпают - засыплют. Тем не менее это глагол первого спряжения для обеих форм. Сложностей не вижу. Возможно, к таковым авторы относят омографическое сходство с глаголом засыпАть, но тогда это уже надумано.
кричать - вот не понял вообще, что сложного тут. Второе спряжение, кричишь - кричат, ударные окончания (или их теперь правильно суффиксами называть?)
объять - глагол "неправильный" в части чередования в основе. Обоймёт-обоймут, окончание ударное, перваое спряжение без вопросов. Сложность разве что в исторически "парной" форме "обнять", с той же основой, но с другой ступенью корневого чередования.
основать - первое спряжение. Предположений о каких-то сложностях нет.
пилить - безударное окончания с ненормативной вариативностью формы ед-3 мн-3 [пилит-пилят и (неправильное)пилет-пилют], глагол второго спряжения.
храпеть - глагол второго спряжения личное окончание ударное, форма инфинитива не показательна.
шить - первое спряжение, ударное личное окончание, форма инфинитива не показательна.
увидать - аналогично "едал", глагол первого спряжения с недостаточностью форма настоящего времени. Дополнительная сложность - созвучие с глаголом "увядал".
выпить - второе спряжение, как и со словом "выглядеть", вся сложность только в ударной приставке.
клеить - ха... а вот действительно не совсем простое слово... Глагол второго спряжения, все абсолютно по основному правилу - то есть по форме инфинитива на "-ить".
Но в русском языке не так много глаголов (если вообще есть общеупотребительные), с основой на "-ей", да еще сохраняющих ударение на основе в личных формах. Поэтому нормативные формы клеит и клеят несвободны и часто ошибочно воспринимаются носителями как клеет и клет - по ложной аналогии с представителями более распространенной модели: греть-греет-греют, зеленеть-зеленеет-зеленеют и проч.
Уффф... Пошел читать правильные ответы... Опечатки позже поправлю
(+)=====
Моё засЫпать - это я сослепу не там ударение поставил. Но с "засыпАть" тем более нет сложностей.