Вариант 1. Сказуемое - стал ездить женихом, осложненное составное именное сказуемое.
Глагольная часть состоит из фазового глагола "стал" и знаменательной связки именного сказуемого "ездить" со значением движения. Такой разбор приводится у Розенталя.
Вариант 2. Сказуемое - стал ездить (составное глагольное), женихом - дуплексив с двунаправленной связью, относится к подлежащему и сказуемому (обстоятельственное определение, выраженное падежной формой существительного). Это сведения из современной грамматики.
Причиной такого неоднозначного решения является то, что знаменательная связка "ездить" выражает полноценный предикативный признак, и тогда сказуемые данного типа могут рассматриваться как сочетание глагольного сказуемого с дуплексивом (обычный пример дуплексива: он вернулся расстроенным, она вернулась расстроенной).