Если вы настаиваете, что "лечить людей" — уточнение, требующее по авторскому пониманию именно парного тире, то опускать ни второе тире, ни запятую, естественно, нельзя.
Но для таких случаев есть правило, что запятая непосредственно после тире (любого, парного или непарного) не ставится, только перед ним.
Поэтому:
...но он продолжал заниматься своим делом – лечить людей, – хотя ему было около шестидесяти лет.
Кому-то на первый взгляд может показаться непривычным, поскольку нарушается структура вложенности, ибо запятая попадает внутрь фрагмента, ограниченного парным тире, но такой подход оправдан, такая пунктуация не сказывается на восприятии смысла, но сохраняет естественную и привычную последовательность знаков.
Это не значит, что предлагаемый вариант без второго тире вовсе неправилен.
Просто тогда надо по-другому трактовать грамматику (см. doom), это тоже вполне оправдано.