Глагол надеюсь может выступать в роли вводного слова, не являясь членом предложения, и показывать отношение говорящего к высказываемой мысли (неуверенность, предположение, неопределённость, допущение). Может играть в предложении и роль сказуемого.
К вводным словам такого значения относятся: наверное, кажется, вероятно, возможно, пожалуй, думаю, полагаю, предположим, допустим и др.
Надеюсь, всё обойдётся (простое предложение; вводное слово можно опустить).
Надеюсь, что всё обойдётся (сложноподчиненное предложение с союзом что; главная часть – односоставное определённо-личное предложение, опущено подлежащее я; слово "надеюсь" нельзя изъять из предложения).
Надеюсь, мы не опоздаем из-за пробок на самолёт.
[Я] Надеюсь, что мы не опоздаем из-за пробок на самолёт.
Надеюсь, вам понравилось в нашем городе.
[Я] Надеюсь, что вам понравилось в нашем городе.
Полезную информацию о вводных словах и сочетаниях можно посмотреть здесь.