Фразеологизм "гнуть свою линию" часто используется в современной речи.
Но вот в середине XIX века свою линию обычно вели, но не гнули, и это выражение является достаточно ясным. Гнуть ее стали уже к концу XIX столетия, вот только зачем?
По всей видимости, выражение "гнуть свою линию" соединяет в себе просторечие "гнуть своё" (настаивать на своём, вопреки кому-то; в воровском жаргоне "гнуть" означает подчинять себе) и канцеляризм "вести свою линию" (вести себя независимо в каком-то деле), поэтому в производном разговорном выражении "гнуть свою линию" глагол не означает "изгибания линии", а лишь добавляет к независимому поведению значение противодействия. Несмотря на то, что все три выражения словарями синонимов объединяются, они различаются по смыслу: "гнуть свою линию" добавляет систематичности выражению "гнуть своё", а "вести свою линию" не делает акцента на противодействии, это выражение формальное и дипломатичное, применимое к себе и своим сторонникам; по отношению же к недругам и политическим противникам предпочитается сравнительно агрессивное выражение "гнуть свою линию".