1) О согласовании
Розенталь http://evartist.narod.ru/text1/64.htm
При словах тысяча, миллион, миллиард сказуемое обычно согласуется по правилам согласования с подлежащими-существительными (в роде и числе), например: Тысяча книг поступила в школьную библиотеку; Миллион демонстрантов заполнил площади и улицы столицы.
Из книги "Практическая стилистика" (2012): Возможно и согласование по смыслу: Тысяча добровольцев откликнулись на беду.
Итак, допускаются варианты согласования, которые нужно выбирать в зависимости от разных факторов (позиция относительно сказуемого, одуш. сущ,, неодуш. сущ. и др.
Выбор ед. числа или мн. числа — обычная проблема для любых числительных, а тысяча — это грамматическое существительное, которое может образовывать счетный оборот как обычное числительное (отсюда еще один вариант).
2) И поводу грамматического разбора: счетный оборот — это единый член предложения, который является подлежащим: У него была/было тысяча рублей. Их было тысяча человек (предложения двусоставное).