Согласно теории деепричастие или деепричастный оборот означает добавочное действие, сопутствующее основному действию, выраженному сказуемым. Обычно эти два действия независимы друг от друга.
Но я нередко замечаю, что деепричастный оборот иногда не просто означает добавочное действие, а очень сильно связан со сказуемым и выполняет уже немного другую функцию в предложении. Акцент смещается на деепричастный оборот. Даже сложно назвать такой деепричастный оборот обстоятельством, хочется отнести его к сказуемому.
Например:
Он смотрит телевизор, говоря что-то маме (добавочное действие).
Он обижает его, говоря такие вещи (обижает тем, что говорит такие вещи).
Смысл: высказывание таких вещей обижает его.
Поэтому иногда в тексте немного непонятен смысл фраз.
Он выполняет его просьбу, записывая на листке имена клиентов.
Просьба заключается в записи имён?
Или он выполняет какую-то просьбу и параллельно записывает имена?
Предложение придуманное, но вы уловили суть.