Никого не заботят проблемы другого, как свои.
Для начала определим семантику оборота. Здесь он имеет значение сопоставления (другой - свой), которое близко к значению сравнения. Оборот соответствует придаточному предложению: Никого не заботят проблемы другого так, как заботят свои проблемы. Соответственно, такой оборот обособляется.
Но этот же оборот может являться необособленным обстоятельством и иметь значение "в качестве своих". В этом случае на оборот падает логическое ударение, пауза отсутствует.
В некоторых случаях, когда структура предложения такова, что возможны оба варианта прочтения, обособление оборота является авторским решением.
Сравним эти варианты на примерах:
1) Обособляется со значением сопоставления (ударением выделены сопоставляемые слова)
И Куренкова передернуло от того, что Шурочка прочла егО мысли, как своИ.
И норвЕжские газеты можно читать почти так же свободно, как своИ, датские.
ЕЁ удачи радовали нас, как свои.
2) Нет обособления, значение "в качестве"
Через весь фильм зритель страдает вместе с героями, осознавая их ошибки как свои. Здесь возможно обособление, авторский выбор.
Он принял дороги войны как свои, хотя был моложе фронтовиков.
Кстати, переживать несчастье и беды близких как свои ― это, по Декарту, высший вид привязанности и любви.
Неверно пишут некоторые «биографы» о Вертинском, что он использовал чужие стихи как свои.