Моя рекомендация: склонять, руководствуясь грамматическим родом таких имен, забыв о половой принадлежности носителя.
Когда-то давно, помнится, обсуждали это вопрос применительно к именам героев. Майн Рида, Купера, Киплинга. Не могу найти, но смысл понятен. Стоит, однако, упомянуть, что переводчики обычно подбирают подходящий пол объекта или им приходится выкручиваться со смыслом ("Стрекоза и муравей" - у Лафонтена это две кумушки, "На севере кедр одинокий" в оригинале Гейне - сосна и пальма - любовь вполне гетеросексуальна). А вот как быть с кошками - да еще с таким количеством разнообразных кличек - вряд ли "проканает".
Правила (утвержденного, общепринятого, с печатью "Уплочено") боюсь, тут нет, но есть ряд соображений, от которых трудно отмахнуться.
Вообще вопроса тут два. 1) Склонять ли вообще и 2) по какому образцу это делать.
Первый решается мгновенно. Спросите ребенка, он вам точно скажет, если мальчика обозвали "лошадью" его друг будет "другом Лошади" или "другом Лошадь". Думаю, достаточно. Свойство склонять все, что можно склонять, в русском языке гораздо сильнее всех заморочек с нестыковками грамматического рода объекта.
Доводы против есть только в тенденции не склонять некоторые имена собственные: украинские фамилии на -ко, женские имена и фамилии на согласный и некоторые топонимы на -о/-е (читал Шевченко, знаком с Маргарет Тетчер, жил в Пушкино - - последнее, кстати, не общепризнанно). Но очень трудно перенести все эти вещи на случай имен-прозвищ или кличек, имеющих вполне распознаваемое и склоняемое славянское происхождение.
С выбором образца или типа склонения (парадигмы) несколько сложнее. Известно, например, что фамилии типа Лошадь, Карамель, Мышь или Сирень" благополучно приобретаю "пол" носителя, порождают Николая Карамеля, Ивана Лошадя или Льва Мыша. То же с фамилиями типа Веретено или Шило. Но ведь это только фамилии. А если прозвища, с грамматическим согласованием, то как быть? Ну хорошо, с "Лунным Тенем" еще можно смириться (не с "Лунной Тенем" же), но как быть с остальными? Искусственно изменить тип склонения у того же "Ручейка"? Но почему только у него/неё? Нет, полагаю, правило должно быть все-таки единым.
Могу догадаться, что автор(ы) ваших текстов текстов перенесли правило о несклонении женских фамилий (см. выше) на прозвища и клички, но это крайне спорно.
Короче, предлагаю независимо от половой принадлежности Тихого Дождя, Звонкого Ручейка, Черепашьего Хвостика, Росного (не росистого?) Листа, Бегущей Воды, Лунной Тени, Кривого Сука, Крика Галки, Зубчатого Пика - и всех скопом склонять по правилам русского языка, без учета их пола.
Мне совсем не нравится аргументация Сержа. Во-первых, самая проблема не раскрыта: мужской или женский род при склонении ("несклонение" женских имен это лишь часть вопроса, далеко не главная), а во-вторых, ну что это за доводы "несуразица" или "[иначе] можно понять буквально"??? Да мало ли что кому-то придет в голову, что на каждый чих правила русского языка изобретать?!
Глаза Звонкий Ручеек (Звонкого Ручейка) просияли, однако она
решительно покачала головой.
Они со Звонким Ручейком (это ж.р.) уселись перед заячьей тушкой и
принялись за еду.
Отчаянные вопли Звонкий Ручеек (Звонкого Ручейка) стихали вдали.
«Делайте что хотите, только сначала разбудите Лунную Тень (это мужское
имя, представленное словами ж.р.)», - донесся до него голос
Черепашьего Хвостика.
Овраг показался Серому Крылу притихшим и опустевшим.
До свидания, - промурлыкал он, потершись лбом о плечо Тихого Дождя
Идем, Зубчатый Пик, - поманила его Снежная Зайчиха, незаметно кивая Тихий
Дождь (Тихому Дождю).
Это будет чудесное приключение! - зеленые глаза Черепаший Хвостик
(Черепашьего Хвостика) радостно просияли.
Серое Крыло проводил взглядом Кривого Сука (м.р.) и Росный Лист (ж.р.
Росного Листа), уходивших на охоту.
Не успел он договорить, как Серое Крыло увидел Бегущую Воду и Крик
Галки (Крика Галки), которые карабкались вверх по склону, неся в зубах
зайца.
…, а Чистое Небо подталкивает Зубчатый Пик (Зубчатого Пика) на
большой, занесенный снегом камень.
Полностью за ваши варианты.
Оффтопом.
Меня больше смущает грамматическая одушевленность таких кличек. Увидел Крика Галки или Крик Галки? Тут же дело не в склонении/несклонении. Это винительный падеж одушевленного или неодушевленного объекта... Скорее всё-таки одушевленный. Если человека прозвали, к примеру, Сапогом, будет всё-таки "увидел Сапога", не "Сапог" же"?! Но не уверен для наших кличек.
@Иванов7-й
Я писал. "Увидел Сильные Руки", И еще интереснее "Увидел Большое Сердце". Если и тут кто-то скажет, что склонять надо по образцу одушевленных (винительный совпадает с родительным), я буду долго смеяться.