1) Расскажи ― какова бы ни была причина, ― кто тебя обидел?
Розенталь. § 26. Вводные и вставные конструкции
Перед вторым тире ставится запятая, если этого требует структура второй части основного предложения или вставной конструкции:
Когда он начинает сомневаться в себе — а это с ним изредка происходит, — он пытается стать рационалистом — вставное предложение примыкает к предшествующей придаточной части сложноподчиненного предложения, и запятая ставится после всей конструкции;
Это вариант с перенесенной запятой. Иногда в подобных случаях используется симметричная постановка запятых: Расскажи, ― какова бы ни была причина, ― кто тебя обидел?
2) ЧтО нужно обществу от книг ― определяется самой культурой.
Да, здесь ставится тире, изъяснительное придаточное в препозиции. Постановке тире способствует и интонация, так как логическое ударение падает на первое слово.