Тут надо бы сделать экскурс в историю русского родительного падежа, он весьма и весьма сложный по тем функциям, которые несет, но мне это не под силу в рамках формата ресурса, постарайтесь просто принять как данность все эти названия ниже. Если вы имеете представление об эстонском, они не должны сильно пугать.
Разве не нужно так: какого рода? Не минуло и года? И рифма
сохраняется.
Дело не в рифме.
В современном русском языке - да, основной вариант родительного падежа - "года" и "рода", партитивом (типа "чаю" или "сахару") тут и не пахнет. Но дело все в том, что родительный падеж вобрал в себя не только исторические посессив (притяжательный родительный с привычными окончаниями -а/-я) и упомянутый партитив, но и еще много всяких падежей, функциональное наполнение которых сейчас полностью не воспринимается носителями.
О форме "(от) роду". В данном случае реализована одна из функций аблатива (родительного отложительного - он тоже впитал несколько функций, прежде чем растворится в посессиве) - откуда? - от роду, (из) какого роду (сравните: [от] какого "роду племени", "из лесу, дому"). Во времена Крылова, насколько понимаю, эта парадигма (сохранившаяся в чистом виде, например, в украинском) была еще актуальной и даже приоритетной. Так что выбор "роду" вполне обоснован.
Вот с "году" сложнее. То, что такая форма была актуальна, да и ныне существует, показывает известный фразеологизм "без году неделя". Но восстановить исторические причины её появления я не берусь. Возможно, это остатки абессива (другое название - каритив или лишительный), еще одного падежа, усвоенного современным родительным. Абессив, как и следует из его названия, по смыслу был некоей противоположностью поссесиву и использовался при обозначении нехватки или отсутствия чего-то.
Видимо, и тут проявление этой недостаточности, нехватки. (= Не было года). Но это совсем древняя форма, Крылов употребил "по инерции" или для стилизации под архаичную речь.
Или были какие-то особенности ровно два века назад?
Да, конечно, они существовали и гораздо позже. О чем я и писал.
КАК ПРАВИЛЬНО в последнем случае и почему? Для рифмы ведь можно
"изобразить" все, что угодно.
В современном языке из форм на -у/-ю актуальным является только партитив - (немного) сахару, меду, гороху, - причем с разными существительными он имеет разную степень необходимости, большинство же слов в этих случаях вполне обходятся парадигмой обычного родительного (поссесива), а остальные - как минимум допускают такую форму (немного льда, бензина, мела...). Так что окончание -а/-я почти всегда правильно.
В остальных же функциях падеж родительный на -у, сохранился только в отдельных сочетаниях (см. по тексту) и как стилизация архаичной речи. Но и тут надо быть аккуратным, далеко не все существительные м.р. имели такую форму во всех этих пропавших падежах. А неправильное употребление может вызвать смешение с внешне идентичными формами звательного (вокатива) - "врачу, [исцелися сам]". Здесь "врачу" - форма звательного и её использование вместо родительного невозможно. "Немного врачу", "без врачу", "нет врачу" - было бы грубейшей ошибкой, по счастью, такое в голову никому и не придет.
Коротко. В современном языке формы родительного на -а/-я можно считать правильными всегда,
на -у/-ю - иногда при обозначении части чего-либо, в остальных случаях
- только в некоторых устоявшихся выражениях и при стилизации под архаику.
Но во времена Крылова архаичные формы использовались шире, чем сейчас, что и засвидетельствовано в басне.