Запятые, которые у меня в скобках, были. Вообще фраза кривоватая, но
тем не менее хочется понять, действительно ли нужны эти запятые.
Да, нужны. По общему правилу обособления деепричастных оборотов. Согласен, что фраза кривоватая. Причина, думаю, в том, что деепричастие совершенного вида диссонирует основным глаголом совершенного "вытирать" - да еще в инфинитиве (сравните "уйдя, гасить свет" - по моему чудовищно). Но это не грамматическое соображение, стилистическое, формально запрета нет, иногда такое, наоборот, весьма выразительно и единственно возможно. Так что де-юре придраться нельзя. А по-другому тут и не скажешь, не меняя структуры фразы.
Первую запятую совсем не хочется ставить, п. ч. идёт пояснение, что за
привычка.
А что за мотивация такая? Даже не могу вспомнить что-нибудь хоть отдаленное похожее на логику "запятая не нужна потому, что далее следует пояснение...".
В любом случае запятые при обособлении (не только деепричастного оборота) всегда парные, если только одна из них не "поглощается" более сильным знаком (но никак не его отсутствием).
"Отменить" же обособление деепричастного оборота в целом можно только в нескольких случаях. Ссылку вам дали вполне употребимую (хотя и не авторитетную), я не буду повторяться.
данный деепричастный оборот (со значением обстоятельства образа
действий)
Ну какое же это обстоятельство образа действия?! И какого действия? "Вытирать"?
Обстоятельство образа действия - это некая конструкция, выполняющая функции наречия. Деепричастия при этом как правило одиночные, реже - со словами, с которыми составляет единое смысловое целое (в примерах по ссылке - "откинув голову" без "головы" бессмысленно), как правило - несовершенного вида (исключение - смысловой продолженный перфект - действие "наклонив" сохраняется на момент основного действия...). По сути - наречие, выраженное другой частью речи (в данном случая - деепричастием).
Здесь же - вообще непонятно, откуда такая трактовка.
(+++)
Добавлю.
Споры о том, изменяется ли смысл при удалении "жаркого с подливкой" не актуальны. Ответ зависит от того, насколько реальны предположения, что герой мог поступать так только после жаркого, любого блюда или вообще вылизывал все тарелки, включая чужие.
Но каким бы ни был этот ответ, это не мотивация для отказа от запятой. Значения обстоятельства образа действия тут все равно не просматривается ни в одном случае.