Возможна такая форма предложения: Браться за дело засучив рукава — значит выполнять работу усердно, старательно, энергично, не останавливаясь перед любыми трудностями и препятствиями.
Здесь ЗНАЧИТ является не глаголом, а связкой между подлежщим и сказуемым в простом предложении.
И замечание по содержанию: данный фразеологизм обозначает именно энергичную и оперативную работу, но, по-моему не имеет прямого отношения к ответственности.
Дополнение
1) Проверка грамматики и пунктуации заданного предложения
"Надо браться за дело засучив рукава" значит, что, несмотря на все трудности, препятствия, к делу, к работе нужно подходить ответственно.
Всё в пределах нормы, глагол "значить" мне кажется более уместным, распространенный оборот с предлогом НЕСМОТРЯ НА в данной позиции однозначно обособляется, но фразеологический оборот желательно использовать в классической форме и не обособлять.
2) О глаголах значить и означать
Из словаря: ОЗНАЧАТЬ, нсв. что. 1. Иметь тот или иной смысл, значение (о словах, знаках, жестах). Что означает ваше молчание? Многоточие означает пропуск текста. ЗНАЧИТЬ, 1. что, с инф. или с придат. дополнит. Иметь какой-л. смысл, означать (о словах, знаках, жестах и т. п.). Имя Виктор значит победитель. Кивок головы значит согласие. Поднятая вверх рука дрессировщика значила стоять. Изумлённый взгляд слушателя значил, что он не согласен. /
Глаголы считаются синонимичными, но по факту употребления могут различаться, например: (1) Многоточие означает пропуск текста. Или: (2) Многоточие значит пропуск текста. Первый вариант "означать" кажется более корректным: в этом случае мы как бы "даем определение" значению знака (приставка О!), а во втором случае "значить" "считываем" это значение.
В заданном предложении (глагол значить) автор скорее озвучивает/считывает информацию, которая является его убеждением в соответствием с жизненным опытом.