Не знаю, откуда вы взяли второй пример, но он есть в хорошей статье Грамоты.ру как раз о ваших трудностях:
Сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода: 1) при отсутствии собственного имени; 2) если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: Диссертант изложил интересные наблюдения. Уже известный читателям автор предложил новую статью. Увлекательные заметки предложил редакции известный автор Н. Петрова.
То есть в вашем примере из методички допущена стилистическая ошибка: глагол написала в строгой письменной речи должен быть в форме м. р.
А. Барто — подлежащее, написал(а) — сказуемое, автор — приложение.
Приложением является нарицательное существительное, если оно сочетается с фамилией или именем собственным (майор Петров, дворник Ануфрий).
Доверительно спросила санинспектор Фрося (П. Павленко).
Действительно в "Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию" Д. Розенталя приведен этот пример, где сказуемое согласуется в женском роде, а также правило:
При сочетании нарицательного существительного с собственным именем лица в роли подлежащего выступает последнее, и сказуемое согласуется с ним.
В статье Грамоты.ру (см. выше) даны рекомендации, согласно которым в строгой литературной норме должно быть:
Доверительно спросил_ санинспектор Фрося.
Во-первых, эти различия можно обосновать тем, что согласование с женским родом свойственно разговорному стилю, который, вполне возможно, использовал Петр Павленко в своем произведении.
Во-вторых, автор мог подчеркивать, что речь идет именно о женщине.
На мой взгляд, в статье Грамоты.ру приведены более точные и понятные рекомендации, нежели в справочнике Розенталя. Поэтому при объяснении правил согласования сказуемого в подобных случаях я бы придерживался именно нее.
Приведу также цитату из "Словаря грамматических трудностей" Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН:
В настоящее время сочетания с "самостоятельным женским родом глагола"
(по терм. А. М. Пешковского) в устной речи стали правилом: врач
посоветовала, кладовщик написала, наш главбух сказала, секретарь
написала правильно...
<...>
В письменной разновидности литературного языка сочетания типа сказала мастер спорта, собравшихся
приветствовала директор школы иногда придают стилю разговорную окраску. Однако благодаря достаточно широкому употреблению подобных
конструкций они не воспринимаются как непривычные — эти сочетания
прочно вошли в обиход литературной речи.
Так, в принципе, оба варианта (спросил и спросила) могут иметь место в грамотной речи.
