Когда? - весной! Когда? - пятого мая!
Одно уточняет другое.
А "как сейчас помню" - это вводное предложение, в своих запятых.
А без него могло бы быть:
"Однажды (зпт) в 2002 году (зпт) весной (зпт) 5 мая (зпт)..." - это ж всё обстоятельства времени, всё нанизано - от самого общего (однажды) к самому конкретному (числу).
Но после "однажды" запятая факультативна (остальные обязательны).
(И две нестрашные попутные ошибочки:
Я добавил две запятых по сравнению с оригиналом, а именно, выделил "5
мая" запятыми.
Две запятые; убрать зпт после "а именно".)
Розенталь. § 96. Уточняющие члены предложения:
Обособляются слова и словосочетания, уточняющие смысл предшествующих
слов.
Чаще всего уточняющими являются обстоятельства места и времени.
Например:
а) В предместье, около боен, выли собаки (Чехов); За рекою, в
розоватом небе, ярко сверкала вечерняя звезда (Горький); Даже сюда,
через озеро, за километр, вместе с горячим воздухом, доносился гул и
треск (Гайдар);
б) В полдень, в ясную, солнечную погоду, ничего нельзя вообразить
печальнее этой развалины (Тургенев); …Он встал по хозяйству рано, в
третьем часу утра, и теперь у него слипались глаза (Чехов); Сейчас,
поздней осенью, когда я живу в Москве, шкатулка стоит там одна в
пустых нетопленых комнатах… (Паустовский).
В зависимости от смысла одни и те же слова могут рассматриваться как
уточняющие или не как уточняющие; ср.: Далеко, в лесу, раздавались
удары топора (слушатель находится вне леса). – Далеко в лесу
раздавались удары топора (слушатель тоже находится в лесу).