Он будет хорошо воспитан - это причастие, обозначающее процессуальный признак, то есть признак как действие.
А вот наречие "хорошо" - не причина, но индикатор того, что перед нами причастие, а не отпричастное прилагательное. Причастие "воспитан" обычно имеет зависимые слова, отвечающие на вопросы "как, где, кем" (они переходят к причастию из глагольного словосочетания), в то время как отпричастное прилагательное обычно находится в однородных отношениях с другим прилагательным и зависимых слов не имеет.
Примеры
Потом приказала моей матушке от своего имени поклониться и поблагодарить ее за то, что так хорошо воспитывает детей своих. [И. С. Тургенев. Отрывки из воспоминаний своих и чужих (1881)]
Как и весь его народ, он хорошо воспитан и привык уважать чужое мнение. [О. Э. Мандельштам. Батум (1923)]
Она была хорошо воспитана и умела скрывать свои истинные чувства.
Холостые вспомнили, что Наташа хороша, воспитанна, получает лучшее жалованье, ― и опечалились. [В. А. Соллогуб. Теменевская ярмарка (1845)]