Для разговорной речи правильным будет "воспользуйтесь этим beautifier'ом".
Корректен ли пример?
Да.
А Воспользуйтесь этим beautifier?
Нет. Идея не склонять то, что непонятно или написано "чужими" буквами - это отнюдь не здорово. Идет, видимо, от английского влияния, из рекламы, когда название товара надо произнести четко и так, чтоб без сомнений в исходной форме.
А историческая тенденция к склонению всего, что только можно склонять - вот это действительно основополагающий принцип русского языка.
Если сливать русское окончание с иноязычной основой допустимо, то
должны ли стоять между основой и окончанием какие-либо знаки
препинания?
Да, апостроф, как вы и написали. Традиция многовековая, так записывали начинающие осваиваться языком иностранные (особенно французские) слова с середины XVIII века.
В книжных и официальных текстах этого, понятно, следует избегать, но в разговорном стиле - тут сомнений нет.