Возможно, это слово появилось во избежание путаницы со словом "снять" в некоторых контекстах (напр. снять спектакль с показа или снять его на киноплёнку). "Заснять" эквивалентно более длинному выражению "снять на плёнку (или иной носитель)", в котором однозначность смысла достигается ценой усложнения. В обычной речи тоже приходится рассуждать на эти темы, поэтому слово легко прижилось, в отличие от странно образованного термина "озвучание".
Слово "заснять" могло возникнуть по ассоциации с "зафиксировать". С одной стороны, нельзя образовать подобный глагол несовершенного вида из-за значения приставки, придающей действию законченность или результативность; с другой стороны, он не особенно нужен: путаницы со "снимать" (напр. с репертуара) практически не возникает, поскольку "снятие" в подобных случаях - действие однократное и чаще выражается глаголом совершенного вида "снять", которому и создана альтернатива.