Как правильно: спросить разрешение или разрешения?
Как обосновать выбор между В.п. и Р.п. в этом случае, исходя из значений падежей?
Думаю, что правильно спросить разрешения. Разрешение - отвлечённое существительное.
Спросить что и о чем, что и чего, кого и у кого.
Что (конкретный объект вопроса). Спросить фамилию. Спросить исторические даты.
О чем (обратиться с вопросом о содержании в общем виде). Спросить о событиях последней недели. Спросить о здоровье.
Что (попросить что-л., обратиться с какой-л. просьбой; при сочетании с существительными конкретными). Спросить свою книгу. Расплачиваясь со старушкой, Гагин спросил еще кружку пива (Тургенев).
Чего (при сочетании с существительными отвлеченными). Спросить совета. Спросить разрешения.
Кого и у кого (обратиться с вопросом). Спросить прохожего (у прохожего) адрес ближайшего почтового отделения.
Чего (в разговорной речи и просторечии название конкретного предмета, если указывается объект временного пользования). Потом лесничий воротился в переднюю, снял с себя всю мокрую амуницию... и спросил у людей веничка... (Гоголь). См. дать. Розенталь