Мэр подписал все бумаги на строительство гипермаркета в центре города, получив при этом неплохой "откат".
Ведь здесь можно "при этом" выбросить из контекста и смысл не изменится. Тогда получается, что оно вводное и его нужно выделить запятыми? Или нет? Но нигде в правилах я так и не нашел, что "при этом" может быть вводным словом.
Слово "при этом" союз и наречие. Запятыми выделяется только союз. В вашем случае наречие и не требует запятых.
Из возможности изъять слово не следует, что оно вводное: можно на это же место поставить столь же необязательное "за услуги" - тоже без запятых. Непросто сделать "при этом" вводными словами в каком-либо предложении. Запятую после него легализовать можно, видимо, только от другого оборота. Разве что с двоеточием можно что-то сочинить:
При этом: а) оказалось занятым место предполагаемой постройки храма, б) пришлось упразднить трамвайный маршрут.
Но и здесь двоеточие обусловлено не вводностью, а последующим перечислением.
