Попробую объяснить. Многозначные слова отличаются от омонимов тем, что значения одного слова имеют нечто общее. Например, игла швейная, игла у ежа или у елки - в значении этих слов есть общее: острые, колются. Ключ от двери, ключ гаечный, ключ к задаче - каждый ключ что-то открывает в прямом или переносном смысле, это слова омонимы. Ключ в значении родник - ничего общего с предыдущими значениями не имеет, это разные слова, омонимы, полные лексические омонимы - т.е. слова совпадают во всех формах.
Как проверить, если сам не можешь разобраться? В толковом словаре слова омонимы располагаются в разных словарных статьях, значения слова - в одной. Теперь про ручку. Все, что Вы перечислили - это значения одного слова. Ручка у двери, мебели или пишущая - общее то, что это все берут в руку, служит опорой для рук. Ручка ребенка - уменьшительное от слова рука. Во всех объяснениях проходит эта "рука". Ручка - это многозначное слово.
Есть еще омоформы - разные слова совпадают в некоторых формах: стекло (сущ) и стекло (глагол в прошедшем времени) и омофоны - слова. совпадающие в устной речи (луг-лук)