Итальянский, натурально, лексически укореняется в латыни, так что этимологию следует искать среди латинских лексических основ.
Во-первых, аффикс -ino указывает на форму деминутива, сиречь "маленький". Во-вторых, основа bur- (-tt- , натурально, отбрасываем как гляйдовое[sic!] образование); ищем в латыни это самое bur-. Прямого соответствия нет, и слава богу, а то бы возникли подозрения...
Но вот что есть: burrae — "глупости", явно pluralis, так что имеем burra-.
Далее: сонорный эквивалент bulla-, вообще говоря, — "пузырь, шарик", однако, имеет фразеологическую коннотацию — "детский, ребячливый".
Quod erat demonstrandum, как прежде говаривали схоласты, исходная лексическая основа для bura-tt-ino — "глупость, ребячливость".