Какой из вариантов верный?
По тексту письма видно, что автор спешит.
По тексту письма видно, что автор спешил.
И почему?
Здесь нужен конкретный текст эпизода, чтобы сделать вывод. Я полагаю, что оба варианта возможны.
В первом случае даются размышления в настоящий момент, вывод еще не сделан.
А во втором варианте ситуация обдумывается повторно, уже какие-то предварительные выводы сделаны.
Но это мои предположения, а вообще-то нужен контекст.