Мне кажется, что "почувствовал, как пошёл дождь" отвечает на вопрос "как именно пошёл дождь", а "почувствовал, что пошёл дождь" — это ответ на вопрос "что произошло". Возможно, вследствие синонимичного употребления "что" и "как" в подобных конструкциях разница стёрлась. Лично я вообще стараюсь обходиться двоеточием: "Я почувствовал: пошёл дождь".
P. S. С точки зрения писательского мастерства "чувствительные" и "мыслительные" глаголы лучше вообще использовать по минимуму. Это называется "глубокая позиция", в отличие от "фильтрованной". Сравните:
Такой клинок королю под стать, подумал Зигфрид. Он протянул руку и
погладил сталь. Она была на ощупь скользкая, лезвие неощутимое.
Зигфрид почувствовал, как под кожей у него забегали мурашки.
Такой клинок королю под стать! Зигфрид протянул руку и погладил
сталь. Скользкая, лезвие неощутимое. Под кожей у него забегали
мурашки.