Здесь сложно. Теоретически возможны все три варианта, но нельзя поступать как вздумается.
Если ставим две запятые, то это уточнение:
И даже, казалось бы, самые незначительные вещи в этот момент приобретают свой [собственный], [а именно] абсолютно исключительный, смысл. || Абсолютно исключительный — новая информация. Логическое ударение на слове "свой". Но этот вариант не подходит по смыслу.
Почему там значение "собственный"? Потому что "особый, а именно абсолютно исключительный" не подходит для уточнения и не звучит.
Без запятых и уточнения воспринимается значение "собственный":
И даже, казалось бы, самые незначительные вещи в этот момент приобретают свой [собственный] абсолютно исключительный смысл. || Оно здесь не подходит. И речевая избыточность: и так понятно, что он собственный, а не чужой.
Если "особый", то получается ерунда: особый абсолютно исключительный смысл. Речевая избыточность, потому что "особый" и есть "исключительный".
Одна запятая может стоять при таком смысле:
И даже, казалось бы, самые незначительные вещи в этот момент приобретают свой и абсолютно исключительный смысл. || Без И (с запятой) оно звучит не по-русски.
Но у Розенталя есть следующее:
Иные отношения мы усматриваем при пояснительных определениях, которые являются другим названием по отношению к предшествующему определению, а не его
уточнением. Например: Новое, радостное чувство овладело мной.
"Свой" (= "особый") и "абсолютно исключительный" похожи, второе поясняет значение первого. Получается, что можно так:
И даже, казалось бы, самые незначительные вещи в этот момент приобретают свОй [особый], абсолютно исключительный смысл. || И это лучший вариант.