Я думаю, произошло смешение понятий. Есть средства платежа (деньги, чеки и т. п.) и есть способы платежа (среди них — использование банковской карты). В сознании потребителей банковская карта превратилась в средствo платежа, так вошло в употребление выражение "оплатить карточкой" по аналогии с "оплатить деньгами". Однако сочетание прижилось — и ничего с этим не поделаешь.
Для того чтобы сделать серьезное приобретение, потребителю не придется оформлять кредит в магазине-партнере ― покупку можно будет оплатить картой. [События (2004) // «Бизнес-журнал», 2004.03.03]
А употребление выражения "оплатить по карточке" считаю ошибкой.
И то, и другое - условности. Аналогия с деньгами при объяснении падежа не проходит: при оплате расстаются не с карточкой, а с деньгами. Более ясное объяснение можно дать формально употребляемому варианту "оплатить с карты" - всё теми же деньгами, которые к ней приписаны, но в выражении опущены. В обоих других случаях тоже можно увидеть упрощение. В выражении "оплатить картой" она выступает как инструмент, посредством которого производят оплату, а к инструменту вполне применим творительный падеж. Варианту "по карте" тоже можно привести оправдание: можно посмотреть на него как на сокращение до одного слова громоздкого понятия "оплатить по безналичной схеме с использованием банковской карты" (это слово лишь ссылается на систему оплаты: по системе/схеме с картой -> по карте).
Глагол "оплатить" подразумевает в том или ином смысле передачу денег из рук в руки. И этот глагол не употребляется с предлогами. "Русская речь в эфире. Комплексный справочник" говорит следующее:
глагол оплатить употребляется всегда без предлога: оплатить расходы, оплатить труд, поэтому неправильно говорить: оплатить за работу, оплатить по долгам;
Я мыслю так: если мы говорим "оплатить деньгами", но никогда не говорим "оплатить по деньгам" - то правильно будет: "оплатить карточкой".
Не думаю, что это правильная аналогия. Вы оплачиваете что-то с помощью карточки. А выражение "оплатить карточкой" является сокращением и вряд ли оно нормативно в строгом смысле на сегодняшний день. Но у меня нет сомнений, что оно прочно вошло в русский язык.
UPD. Посмотрите объяснение в конце этой страницы.
