Эти тонкие материи рассмотрены здесь. Привожу этот отрывок, на случай, если ссылка перестанет работать:
Открываю моего любимого Д.Э.Розенталя и читаю:
«…Приведем типичный случай использования приема схематизации и обнаружения нормативно-стилистической ошибки в построении предложения.
Недавние гастроли театра «Ла Скала» в Москве, помимо их художественного значения, стали своего рода увертюрой к римским встречам на высшем уровне.
Прибегнем к схематизации:
1) Гастроли стали увертюрой;
2) Гастроли (какие?) недавние;
3) Гастроли (кого? чего?) театра «Ла Скала» (название образует со словом театр неразложимый оборот);
4) Гастроли (где?) в Москве;
5) Стали (помимо чего?) помимо значения.
Именно здесь и допущена грубая стилистическая ошибка, т.к. обособленный оборот
«помимо их художественного значения»
зависит в данном предложении от глагола-сказуемого стали, который управляет творительным падежом: кем-чем?, а слово значение зависит от другого глагола, с другим управлением: иметь (что?) значение.
Вариант правки:
Недавние гастроли театра «Ла Скала» в Москве не только имели большое художественное значение, но и стали своего рода увертюрой к римским встречам на высшем уровне.»