На "Грамоте" написано: Правда - союз со значением уступки. То же,что "хотя и, однако, но". Вопреки пунктуационным правилам союз «правда» обычно выделяется запятыми, сближаясь по значению с вводным словом. Пример: С тех пор в своем бобыльском хозяйстве Дубчик обходился топором, правда, тоже старым и заржавленным, с неудобным расшатанным топорищем. В. Быков.
В "Словаре вводных слов" Остроумовой О.А., Фрамполь О.Д. написано: "Правда" - невводное, употребляется в функции союза уступки (= хотя), если стоит на стыке частей сложного предложения или между однородными членами предложения, не обособляется: У тестя был вид заправского заговорщика, правда отчаянная решимость стоила ему волнений (Ю. Трифонов).
В справочнике по пунктуации Розенталя: Получил новую квартиру, правда небольшую и без особых удобств (вводное слово в начале обособленного оборота).
Так как же выделять слово "правда" в значении "хотя (и)": с обеих сторон или только слева?