Можно ли оформить высказывания в приведенном предложении таким образом?
Например, вместо «нет, мы не дадим Вам больничный» Вы можете сказать «да, я Вас понимаю, и в то же время мы не имеем права оформить больничный без определенного диагноза».
Не вижу, почему нельзя. Вопрос об уместности и удачности построения фразы решается в зависимости от контекста и ситуации вообще.
Можно обойтись без лишних слов. Например, так: "Мы не имеем права оформить больничный без определенного диагноза"