Правильно: Я пришел с собакой Волчком.
Собака — определяемое существительное, Волчок — приложение.
Это классический вид приложения, которое определяется как согласование в падеже двух склоняемых существительных, одно из которых является определением (приложением). Тематика данного варианта — кличка животного.
В каждой теме (а их несколько) встречаются несклоняемые приложения, но в данном случае это возможно для двух вариантов:
(1) не склоняется сама кличка (например, Долли): Я пришел с собакой Долли.
(2) используется оборот "по кличке": Я пришел с собакой по кличке Волчок.
P.S.
Тема дана по книге "Русская грамматика" под ред. Шведовой и Лопатина, 1990 год, 2-е издание. Ее часто называют "Краткой Русской грамматикой" (там только один том), но найти книгу онлайн у меня не получается. В частности тема "Приложения" изложена там коротко и по существу.