В прямом смысле "библиотека" и переводится как хранилище книг. И даже неважно, могут ли оттуда брать напрокат книги читатели, либо хранилище просто эти книги держит. При этом библиотека не обязательно хранит книгу в виде стопки листов в корешке. В библиотеках хранят и свитки, и глиняные дощечки, и электронные книги.
Возможность собрать библиотеку из файлов расширилорасширила варианты употребления слова "библиотека" до собрания вообще любых файлов: есть библиотеки кодов, библиотеки тегов и даже библиотеки видео и фото, которые было бы корректнее называть видеотеками и фототеками.
Но человек привык упрощать. Мало кто, например, будет искать специфический термин "инсектариум" для обозначения стеклянного ящика с насекомыми. Скорее всего, человек вам скажет просто "аквариум", хотя никакой воды и рыбок там нет. То же происходит и с "библиотекой". Человеку проще описать модель заведения знакомым словом, чем тратить время на поиск узкопрофильного термина, с которым он незнаком.
Теперь от абстракции к частному, к вашему вопросу. Ребёнок в этом случае справедливо сомневается, потому что слово "библиотека" не применяется в отношении проката инструментов. Это именно прокат. Там нет ни книг, ни признаков, которые, по моему мнению, предполагает хранилище: обеспечение сбережения материалов, а не их износ.
Также обращу внимание, что до сих пор в употреблении библиотека была и оставалась хранилищем информации в любых формах. Инструменты не несут информации.