Итак, существуют два варианта оформления. Какой же верный?
Вот достаточно новый (2011 год) в серии "Великие поэты: Мчитесь вы, будто, как я же, изгнанники...
Вот достаточно старый (1901 год): Мчитесь вы, будто, как я же, изгнанники... Текст исправлен, хотя более ранний вариант с одним обособлением приложен. https://ru.wikisource.org/wiki/Тучи_(Лермонтов)
Вот еще вариант с двумя обособлениями: https://www.stihi.ru/2014/10/07/6755
Так где же правда? Может быть, попробовать смысл понять? Уберем оборот будто как я же и получим: Мчитесь вы, изгнанники, с милого севера в сторону южную.
А в следующей строфе – опровержение. Никакие они не изгнанники, нет у них Родины, нету изгнания. Поэтому они только будто изгнанники, как и я.
Таким образом, союз БУДТО относится к "изгнанникам", а не входит в общий сравнительный оборот.
Поэтому, вероятно, и правится пунктуация, поэтому и существуют варианты, а за правдой надо к хорошим литературоведам обращаться.
Примечание. Более всего огорчают ответы, в которых уверенно сообщается о правильной и единственной форме письма: "Выражение БУДТО КАК Я ЖЕ обособляем с двух сторон. После слова БУДТО запятой нет". Варианты отрицаются без малейшего сомнения, а это не очень правильная позиция не только для участника, но и для форума в целом.