какие знаки препинания необходимо поставить и пишется ли слово "что" в данном случае с большой буквы
Он задается вопросом что делать
Если нет никаких причин отсылать читающего к работам Чернышевского и Ленина, то все просто:
Он задался вопросом, что делать.
Если же "Что делать?" по мысли автора - название или цитата, то
Он задался вопросом "Что делать?"
Последний вариант хоть и возможен, но крайне маловероятен. Других возможностей я не вижу.
Я бы поставил двоеточие после слова "вопрос".Он задался вопросом: что делать.